傅里叶变换的理论分析和仿真验证

理论分析

傅里叶变换中提到：任意波形均可分解为无数不同幅值和频率的正弦波的叠加。那么以最常见的方波(在工作中是以时钟信号，PWM信号等等出现)为分析对象，幅值为1，频率为1/T的方波波形，如下图所示：

通过傅里叶变换后，方波公式可以列为：

上式的意思是：

方波可以分解为频率为 f 赫兹(f=1/T)幅值为

的正弦波，加上频率为 3*f 幅值为

的正弦波，再加上频率为5*f幅值为

的正弦波，以此类推无数正弦波的叠加。

仿真验证

那么就开始做一下仿真验证一下，首先用PSpice输出一个频率为1kHz，幅值为1V的方波。时域波形如下所示：

对波形进行傅里叶变换后，转化为频域，波形如下图所示：

从频域图中，可以发现，基波频率和方波频率相同，基波的幅值为方波幅值的

倍，这些也均和之前得到的公式中分析的一样，X次谐波频率为基波的X倍，幅值为基波的1/X;谐波的幅值会随谐波频率的增加而减小。

那么频域的分解我们得到了，是不是可以反推回去呢?这个我就直接找了一个multisim的仿真图(书内带的仿真，回复：模拟电子威廉希尔官方网站 基础，获得书以及配套书的所有仿真，方便理解强烈推荐!!)，图为通过反相加法器，将不同频率的正弦波叠加到一起(不同频率有不同权重，三次谐波放大倍数为

，五次谐波放大倍数为

，以此类推)。正弦波1kHZ基波幅值设置

V，约等于1.2732V。那么只看基波的波形是这样的：

基波+三次谐波：

基波+三次谐波+五次谐波，是不是已经看到方波的样子了：

基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波，是不是更像方波了：

基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波+九次谐波+十一次谐波：

由于篇幅的关系，只叠加到了十一次谐波，不过看幅值已经很接近幅值为1V频率为1kHz的方波了!!

不过这时，不知您是否心中会闪过一丝疑问：为什么只有奇次谐波，没有看到偶次谐波??那么在这里只提一个结论，推导过程就不列在本文了。

结论是：占空比为50%的方波没有偶次谐波。只有占空比不是50%的方波才有偶次谐波。(所以大多数可以看到的谐波是奇次谐波)

那么就继续用PSpice验证这一结论，在原来波形的基础上将占空比从50%修改到70%，1kHz频率和1V幅值保持不变。时域波形如下所示：

对其进行傅里叶变换，转化到频域，波形如下，偶次谐波出现了!!

最后说两句

那么读到这里，是不是您的心里是不是已经明白示波器的带宽为什么这么重要了呢?如果您的示波器带宽太小，或者您在测量高速信号(比如10Mhz或者更高)的时候无意间打开了带宽限制，那么方波的高次谐波就被滤掉啦哈哈。

所以您观察到的方波就变形了，就失真了，就像用multisim仿真的那个只叠加到十一次谐波的方波一样，出现了失真!!

同理可推运算放大器的带宽(要放大方波信号的时候要考虑其高次谐波，不能仅仅只看基波的频率)。